數(shù)學家的故事─劉徽

　　劉徽（生于公元250年左右），是中國數(shù)學史上一個非常偉大的數(shù)學家，在世界數(shù)學史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國最寶貴的數(shù)學遺產(chǎn)．

　　《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法．在許多方面：如解聯(lián)立方程，分數(shù)四則運算，正負數(shù)運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻．他是世界上最早提出十進小數(shù)概念的人，并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負數(shù)的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術(shù)科學地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果．劉徽在割圓術(shù)中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作．

　　《海島算經(jīng)》一書中， 劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．

　　劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題的人．

　　劉徽的一生是為數(shù)學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富．

　　劉徽從事數(shù)學研究時，中國創(chuàng)造的十進位記數(shù)法和計算工具“算籌”已經(jīng)使用一千多年了。在世界各種各樣的記數(shù)法中，十進位記數(shù)法是最先進、最方便的。中國古代數(shù)學知識的結(jié)晶“九章算術(shù)”也成書三百多年了。“九章算術(shù)”反映的是中國先民在生產(chǎn)勞動、丈量土地和測量容積等實踐活動中所創(chuàng)造的數(shù)學知識，包括方田、粟米、哀分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章，是中國古代算法的基礎，它含有上百個計算公式和246個應用問題，有完整的分數(shù)四則運算法則，比例和比例分配算法，若干面積、體積公式，開平方、開立方程序，方程術(shù)--線性方程組解法，正負數(shù)加減法則，解勾股形公式和簡單的測望問題算法。其中許多成就處于世界領先地位。公元元年前年，盛極一時的古希臘數(shù)學走向衰微，“九章算術(shù)”的出現(xiàn)，標志著世界數(shù)學研究中心從地中海沿岸轉(zhuǎn)到了中國，開創(chuàng)了東方以應用數(shù)學為中心占據(jù)世界數(shù)學舞臺主導地位千余年的局面。在編排上，“九章算術(shù)”或者先提出術(shù)文(命題)，后列出幾個例題，或者先列出一個或幾個例題，后提出術(shù)文。然而它對所用的概念沒有定義，對所有的術(shù)文沒作任何推導證明，個別的公式尚有不精確或失誤之處。東漢以后的許多學者都研究過“九章算術(shù)”，但理論建樹不大。劉徽著作的“九章算術(shù)注”，主要是給“九章算術(shù)”的術(shù)文作解釋和邏輯證明，更正其中的個別錯誤公式，使后人在知其然的同時又知其所以然。有了劉徽的注釋，“九章算術(shù)”才得以成為一部完美的古代數(shù)學教科書。

　　在“九章算術(shù)注”中，劉徽發(fā)展了中國古代“率”的思想和“出入相補”原理。用“率”統(tǒng)一證明“九章算術(shù)”的大部分算法和大多數(shù)題目，用“出入相補”原理證明了勾股定理以及一些求面積和求體積公式。為了證明園面積公式和計算園周率，劉徽創(chuàng)立了割園術(shù)。在這徽之前人們曾試圖證明它，但是不嚴格。劉徽提出了基于極限思想的割園術(shù)，嚴謹?shù)刈C明了園面積公式。他還用無窮小分割的思想證明了一些錐體體積公式。在計算園周率時，劉徽應用割園術(shù)，從園內(nèi)接正六邊形出發(fā)，依次計算出園內(nèi)接正12邊形、正24邊形、正48邊形，直到園內(nèi)接正192邊形的面積，然后使用現(xiàn)在稱之為的“外推法”，得到了園周率的近似值3.14，糾正了前人“周三徑一”的說法。“外推法”是現(xiàn)代近似計算技術(shù)的一個重要方法，劉徽遙遙領先于西方發(fā)現(xiàn)了“外推法”。劉徽的割園術(shù)是求園周率的正確方法，它奠定了中國園周率計算長期在世界上領先的基礎。據(jù)說，祖沖之就是用劉徽的方法將園周率的有效數(shù)字精確到7位。在割園過程中，要反復用到勾股定理和開平方。為了開平方，劉徽提出了求“微數(shù)”的思想，這與現(xiàn)今無理根的十進小數(shù)近似值完全相同。求微數(shù)保證了計算園周率的精確性。同時，劉徽的微數(shù)也開創(chuàng)了十進小數(shù)的先河。

　　劉徽治學態(tài)度嚴肅，為后世樹立了楷模。在求園面積公式時，在當時計算工具很簡陋的情況下，他開方即達12位有效數(shù)字。他在注釋“方程”章節(jié)18題時，共用1500余字，反復消元運算達124次，無一差錯，答案正確無誤，即使作為今天大學代數(shù)課答卷亦無遜色。劉徽注“九章算術(shù)”時年僅30歲左右。北宋大觀三年(1109)劉徽被封為淄鄉(xiāng)男。